கணக்கு தவறானால் கம்பி எண்ணுறது நிச்சயம் - Wrongly jailed for false probabilistic assumption

வீட்டுல கணக்கு தப்பா போட்டா அம்மா அடிப்பாங்க, பள்ளிக்கூடத்துல கணக்கு தப்பா போட்டா டீச்சர் அடிப்பாங்க, அதேது கோர்ட்ல (நீதிமன்றம்), நீதிபதி கணக்கு தப்பா போட்டா (எ.கா. நீதியரசர் குமாரசாமியின் கணக்கு)??? குற்றவாளி தப்பித்தும் போகலாம், நிரபராதி ஜெயிலுக்கும் போகலாம்.  

அறிவியல் வளர்ச்சியின் பயனை, சட்டத்துறை எப்போதுமே காலம் கடந்து தான் பயன்படுத்தும். உதாரணத்திற்கு, செல்போன் பயன்பாட்டிற்கு வந்து பல ஆண்டுகள் கழித்துதான் “குறுஞ்செய்தி மற்றும், வாட்ஸ் அப்” ஆதாரமாக ஏற்றுக்கொண்டது. இந்த நிலையில், கணக்கின் ஒரு பிரிவான “நிகழ்தகவு (probability)” பயன்படுத்தி கோர்ட்டு தீர்ப்பு வழங்கினால் எப்படி இருக்கும்? நிரபராதிக்கு கூட கண்டிப்பா ஜெயில் தான். இப்படி தவறுதலாக வழங்கப்படும் தீர்ப்பை, “மிஸ்கேரெஜ் ஆஃப் ஜஸ்டிஸ் (Miscarriage of Justice)”, நீதியின் தோல்வி என்று அழைக்கின்றனர். அப்படி நிஜமா நடந்த ஒரு நிகழ்வை இந்த பதிவில் பார்க்கலாம்.

உள்ளே செல்வதற்கு முன்னால்,  நிகழ்தகவின் அறிமுகம் அவசியம் என்பதால், அதை முதலில் பார்க்கலாம். நிகழ்தகவு, ஒரு நிகழ்ச்சி நடப்பதற்கான வாய்ப்பை குறிப்பது. உதாரணத்திற்கு, நீங்க சாப்பிடுற மெஸ்ல, வாரத்தில் ஒரு நாள் சிற்றுண்டிக்கு இட்லி தந்தால், குத்து மதிப்பா ஒரு நாள் காலை உணவுக்கு இட்லி இருக்குறதுக்கான வாய்ப்பு, ஏழுல ஒரு பங்கு (1/7). இது தான் நிகழ்தகவுங்க.

இப்போ இது சம்பந்தமான இரண்டு முக்கிய விஷயத்தை பார்க்கலாம்.

1)   தொடர்பு இல்லாத இரண்டு நிகழ்சிகள் சேர்ந்து நடப்பதற்கான சாத்தியம். (டெக்னிக்கலா, இண்டிபெண்டட் ஈவன்ட்ஸ்னு சொல்றாங்க)

அதாவது, உங்க வீட்ல இன்னைக்கு சாம்பார் வச்சா, நாளைக்கு மழை பெய்யும்னு சொல்ற மாதிரி. 

சாம்பாருக்கும் மழைக்கும் என்ன சம்பந்தம்? வீட்ல சாம்பார் வச்சா, வெளிய எப்படிங்க மழை பெய்யும்?. கேனத்தனமால்ல இருக்குன்னு உங்க மனசு நினைக்குறது புரியுது. அதாவது, ஒன்றோடு ஒன்று சம்பந்தம் இல்லாத இரண்டு நிகழ்ச்சிகள், சேர்ந்து நடப்பதற்கான வாய்ப்புகள் மிக மிக குறைவு என்பதை விளக்குவதற்கான எடுத்துக்காட்டு தான் சாம்பாரும் மழையும்.

வாரத்திற்கு ஒருமுறை சாம்பார் வைப்பதாக எடுத்துக்கொண்டால், தினமும் உங்க வீட்ல சாம்பார் இருப்பதற்கான வாய்ப்பு = 1/7, அதாவது 14 சதவீதம்.

சரி, மழை பெய்றதுக்கான வாய்ப்பை எப்படி கண்டுபிடிப்பது? இயற்கையை கணிக்குறது ரொம்ப கஷ்டம். அதனால, போன வருஷம் இந்த மாசத்துல எத்தனை தடவ மழை பெய்ததோ அதையே இந்த வருஷத்திற்கும் வைத்து கொள்ளலாம். அதாவது, மாததிற்கு இரண்டு முறை பெய்திருந்தால் (வாய்ப்பு = 2/30),  இந்த வருடமும் அதே மாசத்தில் இரண்டு முறை பெய்யும் என்று யூகிக்கலாம்.

இப்போ, தொடர்பில்லாத இரண்டு நிகழ்ச்சிகள் சேர்ந்து நடப்பதற்க்கான வாய்ப்பை, எப்படி கணிப்பது? ஒன்றின் வாய்ப்பை மற்றொன்றின் வாய்ப்புடன் பெருக்கினால் கிடைக்கும். குழப்புதுல்ல?

சாம்பார் (1/7), மழை (2/30), இந்த இரண்டும் சேர்ந்து நடப்பதற்கான வாய்ப்பு = (1/7) * (2/30) = 0.009 (அதாவது, ஆயிரத்துல ஒன்பது பங்கு).

நினைவில் கொள்ள வேண்டியவை: தொடர்பில்லாத இரண்டு நிகழ்ச்சிகள் சேர்ந்து நடப்பது மிக அரிது. இப்போ லைட்டா புரிஞ்சிருக்கனுமே!

2)   அடுத்து, தொடர்புடைய இரண்டு நிகழ்ச்சிகள் சேர்ந்து நடப்பதற்கான சாத்தியம் எப்படி இருக்குன்னு பார்ப்போமா? (டெக்னிக்கலா, டிபெண்டட் ஈவன்ட்ஸ்னு சொல்றாங்க)

அதாவது, உங்க வீட்ல, இன்னைக்கு காலைல த ஸேம், இட்லி வைக்குறத ஒரு  நிகழ்ச்சியாகவும், அதோட சேர்ந்து சாம்பாரு வைக்குறத இன்னொரு நிகழ்ச்சியாகவும் எடுத்துக்கலாம். இப்போ, இந்த இரண்டு நிகழ்ச்சிகளும் சேர்ந்து நடப்பதற்கான சாத்தியம் எப்படினு கம்ப்யூட்டர் ஜி கிட்ட கேட்டு பார்ப்போம். வாய்ப்புகள் அதிகம். இட்லி கூட சட்னி சாம்பார் அல்லது எதாச்சும் ஒன்னு கண்டிப்பா இருக்கும். அதனால தான் இட்லியும் சாம்பாரும் சேர்ந்து இருப்பதற்கான வாய்ப்புகள் அதிகம்னு சொன்னேன்.

நினைவில் கொள்ள வேண்டியவை: ஒன்றோடு ஒன்று சம்பந்தம் உடைய இரண்டு நிகழ்ச்சிகள் (இட்லியும், சாம்பாரும்) சேர்ந்து நடப்பதற்கான வாய்ப்புகள் அதிகம்.

இப்போ, ஒரு கேஸ்ல, மேலே பார்த்த இரண்டு விஷயத்தை எப்படி தவறுதலாக பயன்படுத்தினர் என்பதை பார்ப்போம். அதாவது தொடர்புடைய இரண்டு நிகழ்ச்சிகளை, தொடர்பில்லாததாக கருதும்போது நடக்கும் பின்விளைவை பார்க்கலாம்.

குற்றம் சாட்டப்பட்ட பெண்மணி

குழந்தை பாக்கியம் இல்லாமல் இருந்த ஒரு தம்பதியருக்கு (Steve and Sally), நீண்ட நாட்களுக்கு பின் ஒரு குழந்தை பிறந்தது. இதனால், பெற்றோர்களின் பாச மழையில் திண்டாடியது அந்த குழந்தை. சிறிது காலத்தில் எதிர்ப்பு சக்தி இல்லாமல் பாதிக்க பட்டதால், பெற்றோர்கள் குழந்தையை அடிக்கடி மருத்துவரிடம் காட்டினர். எவ்வளவோ முயன்றும், கடைசியில் குழந்தையை பறிகொடுத்தனர். நாட்கள் ஓடியது, இரண்டாவது குழந்தை பிறந்தது. சற்று மன ஆறுதல் அடைவதற்குள், இந்த குழந்தையும் நோய் வாய் பட்டது. மனமுடைந்த அவர்களை இறைவன் கைவிட்டான். ஆம், இரண்டாவது குழந்தையும் இறந்தது.

ஒரு வீட்டில் இரண்டு தொடர் மரணங்கள் என்பதால், இவர்களின் கேஸ் போலீஸ் விசாரணைக்கு உட்படுத்தப்பட்டது. இந்த காலக்கட்டத்தில், பல குழந்தைகளும் நோயுற்று இறந்திருந்தன. அதாவது, ஒரு குழந்தை நோயுற்று இறப்பதற்கான வாய்ப்பு = 1/1300 என்று கணித்திருந்தனர். இதற்கு ஒரு காரணமாக, பெற்றோர்களின் போதைப் பழக்கம் மற்றும் புகைப்பிடிக்கும் பழக்கம் குழந்தைகளை பாதிப்பதாக கூறினர்.

ஆனால், நாம் பார்த்த பெற்றோர்களுக்கு எந்த பழக்கமும் இல்லாததால், இரண்டு குழந்தைகளின் தொடர் இறப்பு, காவல்துறையினரை சந்தேகப்பட வைத்தது. பிரேத பரிசோதணை முடிந்து வந்த அறிக்கையில், குழந்தை பல முறை மூச்சு திணறலுக்கு உள்ளாகியிருப்பது மற்றும் விலா எழும்பில் முறிவு ஏற்பட்டதற்கான அறிகுறி இருந்தது. அறிக்கையை பார்த்த போலிஸின் சந்தேகம், குழந்தையின் தாயின் மீது விழுந்தது. ஏனென்றால், அந்த காலக்கட்டத்தில், “Munchausen Syndrome by Proxy” என்னும் ஒரு மனநோய் பிரபலமாக இருந்தது. தங்களின் குழந்தைகளை அக்கறையோடு பார்த்துக்கொள்வதை வெளி உலகத்திற்கு தெரியப்படுத்தும் ஒரு மனநோய். இத்தகைய காட்சிப்படுத்தலுக்காக தாய்மார்கள், நல்ல ஆரோக்கியத்தோடு இருக்கும் குழந்தைகளை (செயற்கையாக) நோயுற செய்து மருத்துவரிடம் எடுத்து செல்வார்களாம். ஒரு விசித்திரமான நோய்.

ஒரு குழந்தை நோயுற்று இறப்பதற்கான வாய்ப்பு 1300 ல் ஒரு பங்கு என்று பார்த்தோம். அப்படியென்றால், ஒரே குடும்பத்தில் தொடர்ச்சியாக இரு குழந்தைகள் நோயுற்று இறப்பதற்கான வாய்ப்பு எவ்வளவு??? கூடுமா? குறையுமா? 

இதற்கான விடையை, சில கேள்விகளுக்கான விடை தெரிந்தால் மட்டுமே சொல்ல இயலும். ஒரு குழந்தையின் இறப்பு அடுத்த குழந்தையை பாதித்ததா? அதாவது, இரு குழந்தைகளின் இறப்பு, ஒன்றோடு ஒன்று தொடர்புடையதா?

ஒரு குழந்தையின் இறப்பிற்கும், அடுத்த குழந்தையின் இறப்பிற்கும், எந்த சம்பந்தமும் இல்லை என்று இந்த வழக்கை கையாண்ட அரசு வழக்கறிஞர் முடிவுக்கு வந்தார். இந்த முடிவு, பிரபலமான ஒரு மருத்துவரின் அறிவுரையின் பேரில் எடுக்கப்பட்டது. ஏற்கனவே பார்த்தது போல், இரண்டு இறப்பையும், தொடர்பு இல்லாத இரண்டு நிகழ்ச்சிகளாக கொண்டால், இரண்டு இறப்பும் சேர்ந்து நடப்பதற்கான வாய்ப்புகள் மிக குறைவு, லட்சத்தில் ஒரு பங்கு (1/1300 * 1/1300). அதாவது, ஒன்றன்பின் ஒன்றாக இரு குழந்தைகள் இறந்திருப்பதற்கான வாய்ப்பு மிக மிக அரிது என்பதை குறிக்கிறது. இந்த முடிவு குழந்தையின் தாயாருக்கு பெரும் ஆபத்தாக முடிந்தது. குழந்தைகள் நோயுற்று இறக்க வாய்ப்பு மிக குறைவு என்பதால், இரு குழந்தையையும் அதன் தாய் தான் கொன்றிருக்க வேண்டும் என்று தீர்ப்பு வந்தது. 

என்ன தவறு நடந்துள்ளது என்று கண்டுபிடிக்க முடிகிறதா?

இரண்டு குழந்தையின் இறப்பில் எந்த தொடர்பும் இல்லை என்று இவர்களாக யூகித்தது தான். அச்சமயத்தில், பிரபலமாக இருந்த மேலே கூறப்பட்ட சிண்ட்ரோமினால் ஆன நிகழ்வுகள் அதிகம் என்பதாலும், நீதிபதி சுருக்கமாக இப்படி நிகழ்தகவு கணக்கு போட்டு, தாய் தான் காரணம் என  தீர்ப்பு கூறி முடித்துவிட்டார்.

ஆனால்,  ஒரு தாய் வயிற்றில் பிறந்த இரு குழந்தைகளுக்கு மரபணு ரீதியான பிரச்சினையும் இருந்திருக்கலாம். இதனால், இரு இறப்பிற்கும் முற்றிலும் தொடர்பில்லை என்று கருதுவது சரியானதல்ல. 

மரபணு ரீதியான பிரச்சனையால் இரு குழந்தைகளும் இறந்ததாக கருதுவோமானால், ஒரு குடும்பத்தில் தொடர்ச்சியாக இரண்டு குழந்தைகள் இறப்பதற்கான வாய்ப்பு அதிகப்படும். மேலும், மருத்துவ காரணங்கள் அனைத்தையும் ஆராயாமல், இப்படி ஒரு முடிவுக்கு வந்தது மிக தவறான ஒன்று. நீதிமன்றத்தில், கருதுகோள் தவறானால் கம்பி எண்ணுறது நிச்சயம் போல!!!!!!!!!!!

மேல்முறையீடு செய்து அப்பெண்ணின் கணவர் நடத்திய நீண்ட போராட்டத்திற்கு பின், பல வருடங்கள் கழித்து, நீதிமன்ற குழு தாயை விடுதலை செய்தது. இந்த அதிர்ச்சியில் இருந்து மீளாத அந்த தாய், ஆண்டுகள் கழித்து 2007 யில் இறந்துவிட்டார் [குறிப்பு].

***************************************************************************************************************
கணிதம் சம்பந்தமான எமது பதிவுகள்

1) கணிதம் வழியே கொரோனா - Effect of Corona Spread and precautions

2) போலி செய்திகளின் எக்ஸ்போனென்சியல் க்ரோத்: INFODEMIC OF FORWARD MESSAGES

3) எம் எல் ஏக்கள் தொகுதிகளுக்கு வராதது ஏன் - Small Calculation on MLA's constituency visit